Tính vi phân của hàm số

$\bullet $ Tích $f"({{x}_{0}}).\Delta x$ được gọi là vi phân của hàm số $y=f(x)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ (ứng với số gia $\Delta x$) được kí hiệu là $df({{x}_{0}})=f"({{x}_{0}})\Delta x$.$\bullet $ Nếu hàm số $f$ có đạo hàm $f"$ thì tích $f"(x)\Delta x$ được gọi là vi phân hàm số $y=f(x)$, kí hiệu là: $df(x)=f"(x)\Delta x$.Đặc biệt: $dx=x"\Delta x=\Delta x$ nên ta viết $df(x)=f"(x)dx$.

Bạn đang xem: Tính vi phân của hàm số


B – BÀI TẬP

I. Bài tập minh họa

Câu 1.  Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}$. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số$f\left( x \right)$?

A. $\text{d}y=2\left( x-1 \right)\text{d}x$. B. $\text{d}y={{\left( x-1 \right)}^{2}}\text{d}x$.

C. $\text{d}y=2\left( x-1 \right)$. D. $\text{d}y=2\left( x-1 \right)\text{d}x$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có $\text{d}y={f}"\left( x \right)\text{d}x=2\left( x-1 \right)\text{d}x$.

Câu 2.  Tìm vi phân của các hàm số $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}$

A. $dy=(3{{x}^{2}}-4x)dx$ B. $dy=(3{{x}^{2}}+x)dx$

C. $dy=(3{{x}^{2}}+2x)dx$ D. $dy=(3{{x}^{2}}+4x)dx$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

$dy=(3{{x}^{2}}+4x)dx$

Câu 3.  Tìm vi phân của các hàm số $y=\sqrt{3x+2}$

A. $dy=\frac{3}{\sqrt{3x+2}}dx$ B. $dy=\frac{1}{2\sqrt{3x+2}}dx$

C. $dy=\frac{1}{\sqrt{3x+2}}dx$ D. $dy=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}dx$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

$dy=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}dx$

Câu 4.  Cho hàm số $y={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-5$. Vi phân của hàm số là:

A.$\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$.   B. $\text{d}y=\left( -3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$.

C. $\text{d}y=-\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$. D. $\text{d}y=\left( -3{{x}^{2}}+18x-12 \right)\text{d}x$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có $\text{d}y={{\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-5 \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x$.

Câu 5.  Tìm vi phân của các hàm số $y={{(3x+1)}^{10}}$

A. $dy=10{{(3x+1)}^{9}}dx$ B. $dy=30{{(3x+1)}^{10}}dx$

C. $dy=9{{(3x+1)}^{10}}dx$ D. $dy=30{{(3x+1)}^{9}}dx$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

$dy=30{{(3x+1)}^{9}}dx$.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1.  Tìm vi phân của các hàm số $y=\sin 2x+{{\sin }^{3}}x$

A. $dy=\left( \cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$ B. $dy=\left( 2\cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$

C. $dy=\left( 2\cos 2x+{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$ D. $dy=\left( \cos 2x+{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$

Câu 2.  Tìm vi phân của các hàm số $y=\tan 2x$

A. $dy=(1+{{\tan }^{2}}2x)dx$ B. $dy=(1-{{\tan }^{2}}2x)dx$

C. $dy=2(1-{{\tan }^{2}}2x)dx$ D. $dy=2(1+{{\tan }^{2}}2x)dx$

Câu 3.  Tìm vi phân của các hàm số $y=\sqrt<3>{x+1}$

A. $dy=\frac{1}{\sqrt<3>{{{(x+1)}^{2}}}}dx$ B. $dy=\frac{3}{\sqrt<3>{{{(x+1)}^{2}}}}dx$

C. $dy=\frac{2}{\sqrt<3>{{{(x+1)}^{2}}}}dx$ D. $dy=\frac{1}{3\sqrt<3>{{{(x+1)}^{2}}}}dx$

Câu 4.  Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}$. Chọn câu đúng:

A. $\text{d}f(x)=\frac{-\sin 4x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$. B. $\text{d}f(x)=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$.

C. $\text{d}f(x)=\frac{\cos 2x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$. D. $\text{d}f(x)=\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$.

Câu 5.  Cho hàm số$y={{x}^{3}}-5x+6$ . Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$. B. $\text{d}y=-\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$.

C. $\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}+5 \right)\text{d}x$. D. $\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$.

Câu 6.  Cho hàm số $y=\frac{1}{3{{x}^{3}}}$. Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=\frac{1}{4}\text{d}x$. B. $\text{d}y=\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x$. C. $\text{d}y=-\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x$. D. $\text{d}y={{x}^{4}}\text{d}x$.

Câu 7.  Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$. Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=\frac{\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. B. $\text{d}y=\frac{3\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.

C. $\text{d}y=\frac{-3\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. D. $\text{d}y=-\frac{\text{d}x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.

Câu 8.  Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1}$. Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=-\frac{{{x}^{2}}-2x-2}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$. B. $\text{d}y=\frac{2x+1}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$.

C. $\text{d}y=-\frac{2x+1}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$. D. $\text{d}y=\frac{{{x}^{2}}-2x-2}{{{(x-1)}^{2}}}\text{d}x$.

Câu 9.  Cho hàm số $y=\sin x-3\cos x$. Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=\left( -\cos x+3\sin x \right)\text{d}x$. B. $\text{d}y=\left( -\cos x-3\sin x \right)\text{d}x$.

Xem thêm: Cách Khai Quang Điểm Nhãn Thiềm Thừ (Cóc Ngậm Tiền)Đúng, Khai Quang Điểm Nhãn Cóc Vàng

C. $\text{d}y=\left( \cos x+3\sin x \right)\text{d}x$. D. $\text{d}y=-\left( \cos x+3\sin x \right)\text{d}x$.

Câu 10.  Cho hàm số \. Vi phân của hàm số là:

A. \<\text{d}y=\sin 2x\,\text{d}x\>. B. \<\text{d}y=\sin 2x\,\text{d}x\>. C. \<\text{d}y=\sin x\,\text{d}x\>. D. \<\text{d}y=\text{2cos}x\,\text{d}x\>.

Câu 11.  Vi phân của hàm số \là:

A. \<\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\>. B. \<\text{d}y=\frac{\sin (2\sqrt{x})}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\>.

C. \<\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}-\sin (2\sqrt{x})}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\>. D. \<\text{d}y=-\frac{2\sqrt{x}-\sin (2\sqrt{x})}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x\>.

Câu 12.  Hàm số \ có vi phân là:

A. \<\text{d}y=\left( x\cos x\sin x \right)\text{d}x\>. B. \<\text{d}y=\left( x\cos x \right)\text{d}x\>.

C. \<\text{d}y=\left( \cos x\sin x \right)\text{d}x\>.. D. \<\text{d}y=\left( x\sin x \right)\text{d}x\>.

Câu 13.  Hàm số $y\text{ }=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$. Có vi phân là:

A. \ B. \

C. \ D. \

Hướng dẫn giải:

Câu 1.  

Chọn B.

$dy=\left( 2\cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx$

Câu 2.  

Chọn D.

$dy=2(1+{{\tan }^{2}}2x)dx$

Câu 3.  

Chọn D.

$dy=\frac{1}{3\sqrt<3>{{{(x+1)}^{2}}}}dx$

Câu 4.  

Chọn B.

Ta có : $\text{d}y={f}"\left( x \right)\text{d}x=\frac{{{\left( 1+{{\cos }^{2}}2x \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x=\frac{-4\cos 2x.\sin 2x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x$

Câu 5.  

Chọn A.

Ta có $\text{d}y={{\left( {{x}^{3}}-5x+6 \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x$.

Câu 6.  

Chọn C.

Ta có $\text{d}y={{\left( \frac{1}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}\text{d}x=\frac{1}{3}.\frac{3{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}=-\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x$.

Câu 7.  

Chọn C.

Ta có $\text{d}y={{\left( \frac{x+2}{x-1} \right)}^{\prime }}\text{d}x=-\frac{3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x$.

Câu 8.  

Chọn D.

Ta có \<\text{d}y={{\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1} \right)}^{\prime }}\text{d}x=\frac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x=\frac{{{x}^{2}}-2x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x\>.

Câu 9.  

Chọn C.

Ta có $\text{d}y={{\left( \sin x-3\cos x \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( \cos x+3\sin x \right)\text{d}x$.

Câu 10.  

Chọn B.

Ta có $\text{d}y=\text{d}\left( {{\sin }^{2}}x \right)={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{\prime }}\text{d}x\,=\,\cos x.2\sin x\text{d}x\,=\sin 2x\text{d}x$.

Câu 11.  

Chọn D.

Ta có $\text{dy}={{\left( \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)}^{\prime }}\text{dx}\,\text{= }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}.\sqrt{x}-\tan \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}\text{dx }$

$\text{= }\left( \frac{1}{2}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}-\frac{\sin \sqrt{x}}{\cos \sqrt{x}}.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\frac{1}{x}\text{dx =}\frac{\sqrt{x}-\sin \sqrt{x}\cos \sqrt{x}}{2x\sqrt{x}.{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}.dx$

$\text{=}\frac{2\sqrt{x}-\sin 2\sqrt{x}}{4x\sqrt{x}.{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}.dx$

Câu 12.  

Chọn B.

Ta có \.

Câu 13.  

Chọn A.

Ta có $\text{dy}={{\left( \frac{x}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}\text{dx}=\frac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}dx$.