HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LỚP 10 NÂNG CAO

Bài 16 trang 64 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Cho tam giácABC cóAB = 5, AC = 8, góc A = 600. Tác dụng nào vào các kết quả sau là độ lâu năm cạnhBC?

a)(sqrt 129 ); b) 7;

c)49; d)(sqrt 69 ).

Hướng dẫn giải:

Ta cóBC2= a2= b2+c2−2bc.cosA = 82+52−2.8.5.cos600= 49

⇒BC = 7.

Chọn b).

Bài 17 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao

Hình 59 vẽ một hồ nước nằm tại vị trí góc tạo vì hai bé đường. Bốn chúng ta An, Cường , Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B mang lại C như sau

An : 5km

Cường : 6km

Trí : 7km

Đức : 5,5km

Biết rằng khoảng cách từ Ađến Blà3km, khoảng cách từA mang đến Clà4km, gócBAC là1200.

Hỏi dự đoán của khách hàng nào giáp với thực tiễn nhất ?

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí cosin ta có

BC2= AB2+AC2−2AB.AC.cos BAC = 32+42−2.3.4.cos1200= 9+16+12 = 37

( Rightarrow BC = sqrt 37 approx 6,1)

Vậy các bạn Cường dự đoán sát với thực tế nhất.

Bài 18 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho tam giácABC. Chứng minh các khẳng định sau

a) GócA nhọn khi còn chỉ khia2 2+c2;

a) GócA tầy khi và chỉ còn khia2 > b2+c2;

a) GócA vuông khi và chỉ còn khia2= b2+c2.

Hướng dẫn giải:

Ta có(cos A = fracb^2 + c^2 - a^22bc)

a)A nhọn ⇔ cosA > 0 ⇔ b2+c2> a2.

b)A tội nhân ⇔ cosA 2+c22.

c)A vuông ⇔ cosA = 0 ⇔ b2+c2 = a2.

Bài 19 trang 65 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Tam giác ABC gồm (widehat A = 60^0,widehat B = 45^0,b = 4). Tính nhì cạnh a cùng c.

Hướng dẫn giải:

Ta có(widehat C = 180^0 - widehat A - widehat B = 180^0 - 60^0 - 45^0 = 75^0)

Áp dụng định lý sin ta có:

(eginarraylfracasin A = fracbsin B = fraccsin c = frac4sin 45^0\fracasin 60^0 = frac4sin 45^0 Rightarrow a = 4.fracsqrt 3 2.sqrt 2 = 2sqrt 6 \fraccsin 75^0 = frac4sin 45^0 Rightarrow c approx 5,5endarray)

Bài đôi mươi trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho tam giácABCcó góc A = 600, a = 6. Tính bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác.

Hướng dẫn giải:

Ta có:(fracasin A = 2R Rightarrow R = fraca2sin A = frac62sin 60^0 = frac6sqrt 3 = 2sqrt 3 approx 3,5)

Bài 21 trang 65 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu cha góc của tam giác ABCthỏa mãn hệ thứcsinA = 2sinB.cosC thì ABClà tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí sin với cosin ta có

(sin A = fraca2R,sin B = fracb2R,cosC = fraca^2 + b^2 - c^22bc)

Do đó

(eginarraylsin A = 2sin Bcos C Leftrightarrow fraca2R = 2.fracb2R.fraca^2 + b^2 - c^22ab\Leftrightarrow a^2 = a^2 + b^2 - c^2 Leftrightarrow b^2 = c^2 Leftrightarrow b = cendarray)

VậyABC là tam giác cân.

Bài 22 trang 65 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Hình 60 vẽ một loại tàu thủy đã neo đậu ở vị trí Ctrên biển và hai tín đồ ở các vị trí quan gần kề Avà Bcách nhau500m. Chúng ta đo được gócCAB bằng870 với gócCBA bằng620.

Tính những khoảng cáchAC vàBC.

Hướng dẫn giải:

Ta có ngân hàng á châu = 1800−870−620= 310

Áp dụng định lí sin ta có:

(eginarraylfracasin A = fracbsin B = fraccsin C = frac500sin 31^0 approx 971\Rightarrow BC = a = 971.sin 87^0 approx 969m,AC = b = 971.sin 62^0 approx 857mendarray)

Bài 23 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao

GọiH là trực trọng tâm của tam giác không vuông ABC. Chứng tỏ rằng chào bán kính những đường tròn nước ngoài tiếp các tam giácABC, HBC, HCA, HAB bởi nhau.

Hướng dẫn giải:

Trường hợp 1: Tam giácABC có cha góc nhọn.

GọiR, R1 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, HBC.

Áp dụng định lí sin ta có

(fracBCsin A = 2R;fracBCsin widehat BHC = 2R_1)

Mà(widehat BHC + widehat A = widehat B"HC" + widehat A = 180^0)(Vì 2 góc BHC với B′HC′ đối đỉnh)

⇒ sinA = sinBHC

Do kia 2R = 2R1⇒ R = R1.

Vậy nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác HBCbằng nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC.

Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácHCA, HAB bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.

Trường phù hợp 2: Tam giácABC bao gồm góc tù.

Xem thêm: Review Và Tóm Tắt Không Gia Đình, Tóm Tắt Tiểu Thuyết

Ta có(fracBCsin widehat BAC = 2R;fracBCsin widehat BHC = 2R_1)

Mà (widehat B"AC" + widehat CHB = 180^0sin widehat BAC = sin widehat B"AC" = sin widehat CHB) (Vì BAC với B′AC′ đối đỉnh)

⇒ R = R1

Tương từ ta minh chứng được bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giácHCA, HAB bằng nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC.

Bài 24 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Tam giácABCcóa = 7,b = 8,c = 6. Tínhma.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tínhmata có:

(m_a^2 = fracb^2 + c^22 - fraca^24 = frac8^2 + 6^22 - frac7^24 = frac1514 Rightarrow m_a approx 6,1)

Bài 25 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Tam giácABCcóa = 5, b = 4, c = 3. Rước điểmDđối xứng vớiBquaC. Tính độ dàiAD.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng cách làm tính trung tuyếnACtrong tam giácABDta có:

(eginarraylAC^2 = fracAB^2 + AD^22 - fracBD^24 Rightarrow 4^2 = frac3^2 + AD^22 - frac10^24\Rightarrow AD^2 = 73 Rightarrow AD = sqrt 73 approx 8,5endarray)

Bài 26 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho hình bình hànhABCDcóAB=4,BC=5,BD=7. TínhAC.

Hướng dẫn giải:

Gọi Olà trung tâm hình bình hành.

Áp dụng phương pháp tính trung tuyếnAOcủa tam giácABD, ta có:

(eginarraylAO^2 = fracAB^2 + AD^22 - fracBD^24 = frac4^2 + 5^22 - frac7^24 = frac334\Rightarrow AO = sqrt frac334 = fracsqrt 33 2\Rightarrow AC = 2AO = sqrt 33 approx 5,8endarray)

Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương những cạnh bởi tổng bình phương của hai đường chéo.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng cách làm tính trung tuyếnAO vào tam giácABD, ta có:

(eginarraylAO^2 = fracAB^2 + AD^22 - fracBD^24\Leftrightarrow 4AO^2 = 2left( AB^2 + AD^2 ight) - BD^2\Leftrightarrow AC^2 + BD^2 = 2left( AB^2 + AD^2 ight) = AB^2 + AD^2 + DC^2 + BC^2endarray)

Bài 28 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Chứng minh rằng tam giácABCvuông ởAkhi và chỉ khi5m2a=m2b+m2c.

Hướng dẫn giải:

Ta có5m2a=m2b+m2c

(eginarraylLeftrightarrow 5left( fracb^2 + c^24 - fraca^24 ight) = fraca^2 + c^22 - fracb^24 + fraca^2 + b^22 - fracc^24\Leftrightarrow 5left( 2b^2 + 2c^2 - a^2 ight) = 2a^2 + 2c^2 - b^2 + 2a^2 + 2b^2 - c^2\Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2endarray)

Suy ra tam giác ABC vuông nghỉ ngơi A.

Bài 29 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Tam giácABC cób = 6,12; c = 5,35; A = 840. Tính diện tích s tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có(S_ABC = frac12bcsin A = frac12.6,12.5,35.sin84^0 approx 16,3)

Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho tứ giácABCD. GọiM, N theo thứ tự là trung điểm củaACvàBD. Minh chứng rằngAB2+BC2+CD2+DA2 =AC2+BD2+4MN2.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bí quyết tính trung tuyến,MN là trung tuyến đường của tam giácBMD, ta có:

(MN^2 = fracBM^2 + DM^22 - fracBD^24 Leftrightarrow 4MN^2 = 2left( BM^2 + DM^2 ight) - BD^2left( 1 ight))

Tương tự,BM, DM theo thứ tự là trung tuyến của tam giácABC, ADC nên:

(eginarrayl4BM^2 = 2left( AB^2 + BC^2 ight) - AC^2,,,left( 2 ight)\4DM^2 = 2left( DA^2 + CD^2 ight) - AC^2,,left( 3 ight)endarray)

Từ (2), (3) suy ra:

(2left( BM^2 + DM^2 ight) = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 - AC^2,,left( 4 ight))

Thay (4) vào (1), ta có

4MN2= AB2+BC2+CD2+DA2−AC2−BD2⇒ AB2+BC2+CD2+DA2= AC2+BD2+4MN2

Bài 31 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

GọiSlà diện tích s vàRlà bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC. Minh chứng rằngS = 2R2sinAsinBsinC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bí quyết tính diện tích và định lí sin vào tam giácABC.Ta có:

(S = fracabc4R = fracleft( 2Rsin A ight)left( 2Rmathop m sinB olimits ight)left( 2Rmathop m sinC olimits ight)4R = 2R^2sin Asin Bsin C)

Bài 32 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bởi nửa tích nhì đường chéo và sin của góc hợp do hai đường chéo cánh đó.

Hướng dẫn giải:

GọiIlà giao điểm của hai tuyến phố chéoAC,BDvà AIB = α.

Ta có(S_ABI = frac12AI.BIsin alpha ,S_ADI = frac12AI.DIsin left( 180^0 - alpha ight) = frac12AI.DIsin alpha )

Suy ra(S_ABD = S_ABI + S_ADI = frac12AIleft( BI + DI ight)sin alpha = frac12AI.BD.sin alpha )

Tương từ bỏ ta suy ra(S_BCD = S_BIC + S_CDI = frac12CI.BD.sin alpha )

Từ kia suy ra(S_ABCD = S_ABD + S_BCD = frac12BD.left( AI + CI ight)sin alpha = frac12BD.AC.sinalpha )

Bài 33 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Giải tam giácABC, biết

a)c = 14, A = 600, B = 400;

b)b = 4,5; A = 300, C = 750;

c)c = 35, A = 400, C = 1200;

d)a = 137,5; B = 830, C=570.

Hướng dẫn giải:

Ta có C = 1800−600−400= 800

Áp dụng định lí sin:

(eginarraylfracasin A = fracbsin B = fraccsin C = frac14sin 80^0 Rightarrow a = frac14sin 80^0.sin 60^0 approx 12,3\b = frac14sin 80^0.sin 40^0 approx 9,1endarray)

Ta có B = 1800−300−750= 750

Áp dụng định lí sin:

(eginarraylfracasin A = fracbsin B = fraccsin C = frac4,5sin 75^0 Rightarrow a = frac4,5sin 75^0.sin 30^0 approx 2,3\c = frac4,5sin 75^0.sin 75^0 = 4,5endarray)

Ta bao gồm B = 1800−1200−400= 200

Áp dụng định lí sin:

(eginarraylfracasin A = fracbsin B = fraccsin C = frac35sin 120^0 Rightarrow a = frac35sin 120^0.sin 40^0 approx 26\b = frac35sin 120^0.sin 20^0 approx 13,8endarray)

Ta tất cả A = 1800−830−570= 400

Áp dụng định lí sin:

(eginarraylfracasin A = fracbsin B = fraccsin C = frac137,5sin 40^0 Rightarrow b = frac137,5sin 40^0.sin 83^0 approx 212,3\c = frac137,5sin 40^0.sin 57^0 approx 179,4endarray)

Bài 34 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Giải tam giácABC, biết

a)a = 6,3, b=6,3,C = 540;

b)b = 32, c = 45, A = 870;

c)a = 7, b = 23, C = 1300.

Hướng dẫn giải:

ABC là tam giác cân nặng tạiC ⇒ (widehat A = widehat B = frac180^0 - 54^02 = 63^0). Áp dụng định lí sin ta có:

(fracasin A = fraccmathop m sinC olimits = frac6,3sin 63^0 Rightarrow c = frac6,3sin 63^0.sin 54^0 approx 5,7)

Áp dụng định lí cosin ta có:

(eginarrayla^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos A\= 32^2 + 45^2 - 2.32.45.cos87^0 approx 2898,27\Rightarrow a approx 53,8endarray)

Áp dụng định lí sin ta có:

(eginarraylfracasin A = fracbsin B Rightarrow sin B = fracbsin Aa = frac32.sin 87^053,8 approx 0,6\Rightarrow B approx 36^0,C approx 57^0endarray)

Áp dụng định lí cosin ta có:

(eginarraylc^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C\= 7^2 + 23^2 - 2.7.23cos130^0 approx 785\Rightarrow c approx 28\cos A = fracb^2 + c^2 - a^22bc = frac23^2 + 28^2 - 7^22.23.28 approx 0,98\Rightarrow A = 11^0,B = 39^0endarray)

Bài 35 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Giải tam giácABC, biết

a)a = 14, b = 18, c = 20;

b)a = 6, b = 7,3, c = 4,8;

c)a = 4, b = 5, c = 7.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí cosin ta có:

(eginarraylcos A = fracb^2 + c^2 - a^22bc = frac18^2 + 20^2 - 14^22.18.20 approx 0,73\cos B = fraca^2 + c^2 - b^22ac = frac14^2 + 20^2 - 18^22.14.20 approx 0,49\Rightarrow A approx 43^0,B approx 61^0,C approx 76^0endarray)

Áp dụng định lí cosin ta có:

(eginarraylcos A = fracb^2 + c^2 - a^22bc = fracleft( 7,3 ight)^2 + left( 4,8 ight)^2 - 6^22.7,3.4,8 approx 0,58\cos B = fraca^2 + c^2 - b^22ac = frac6^2 + left( 4,8 ight)^2 - left( 7,3 ight)^22.6.left( 4,8 ight) approx 0,1\Rightarrow A approx 55^0,B approx 85^0,C approx 40^0endarray)

Áp dụng định lí cosin ta có:

(eginarraylcos A = fracb^2 + c^2 - a^22bc = frac5^2 + 7^2 - 4^22.5.7 approx 0,83\cos B = fraca^2 + c^2 - b^22ac = frac4^2 + 7^2 - 5^22.4.7 approx 0,71\Rightarrow A approx 34^0,B approx 44^0,C approx 102^0endarray)

Bài 36 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Biết nhị lực cùng chức năng vào một đồ vật và tạo thành với nhau góc400. độ mạnh của nhì lực đó là 3Nvà4N. Tính cường độ của lực tổng hợp.

Hướng dẫn giải:

Theo quy tắc hình bình hành, ta vẽ hình bình hànhAOBC thì(overrightarrow OC = overrightarrow OA + overrightarrow OB ).

Ta gồm OBC = 1800−400= 1400(Theo tính chất hình bình hành)

Áp dụng định lí cosin trong tam giácOBC. Ta có

(eginarraylOC^2 = OB^2 + BC^2 - 2OB.BC.cos OBC\= 3^2 + 4^2 - 2.3.4.cos 140^0 approx 43,4\Rightarrow OC approx 6,6endarray)

Vậy độ mạnh của lực tổng hợp là6,6N.

Bài 37 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Từ vị trí Angười ta quan liền kề một cây cao (h.61)

BiếtAH = 4m, HB = 20m, BAC = 450. Tính độ cao của cây.

Hướng dẫn giải:

Tam giácAHB vuông tạiH nênAB2 = AH2+HB2 = 42+202 = 416

(eginarraylRightarrow AB approx 20,4\ an widehat BAH = fracHBHA = frac204 = 5\Rightarrow widehat BAH approx 78,7^0\Rightarrow widehat HAC approx 78,7^0 + 45^0 approx 123,7^0\widehat HAB + widehat HBA = 90^0\widehat ABC + widehat HBA = 90^0\Rightarrow widehat HAB = widehat ABC\Rightarrow widehat BCA = 180^0 - widehat BAC - widehat ABC = 180^0 - widehat HAC\Rightarrow widehat BCA approx 180^0 - 123,7^0 = 56,3^0endarray)

Ta có:

(eginarraylfracBCsin 45^0 = fracABsin 56,3^0\Rightarrow BC = frac20,4sin 56,3^0.sin45^0 approx 17,4endarray)

Vậy cây cao17,4m.

Bài 38 trang 66 SGK Hình học tập 10 nâng cao

Trên nóc một tòa nhà gồm một cột ăng-ten cao5m. Từ vị trí quan sátA cao7m so với phương diện đất, hoàn toàn có thể nhìn thấy đỉnh Bvà chân Ccủa cột ăng-ten bên dưới góc500 và400 so với phương ở ngang. Tính độ cao của tòa công ty (h.62).

Hướng dẫn giải:

ĐặtCD = x, ta có

(eginarrayl an 40^0 = fracxAD; an 50^0 = fracBDAD = fracx + 5AD\Rightarrow fracx + 5x = frac an 50^0 an 40^0 approx 1,42\Rightarrow 0,42x = 5\Rightarrow x = 11,9endarray)

Vậy độ cao tòa nhà làHC = HD+DC = 7+11,9 = 18,9m.

Trên đấy là nội dung đưa ra tiếtGiải bài bác tập nâng caoToán 10 Chương 2 bài bác 3Hệ thức lượng vào tam giác bất kìvới lý giải giải đưa ra tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. hoanghaistore.com hi vọng đây đã là tài liệu có lợi giúp các bạn học sinh lớp 10 tiếp thu kiến thức thật tốt.