Home / Tổng Hợp / chuyên đề chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức 14/10/2021 2-Một số cách thức và bài xích toán liên quan đến phương trình bậc hai thực hiện công thức nghiệm đã cho học sinh học sau.3-Rèn tài năng và pp minh chứng bất đẳng thức.B- NỘI DUNG PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số hằng bất đẳng thức xuất xắc dùng Bạn đang xem: Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức 28 tranghoangquan1103837Download Xem thêm: Hãng Hàng Không Hàn Quốc Korean Air Được Công Nhận 5 Sao, Các Hãng Hàng Không Bay Việt Nam Hàn QuốcBạn đã xem 20 trang chủng loại của tài liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức", để download tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD sinh hoạt trênChuyên đề: Bất đẳng thứca.mục tiêu:1-Học sinh nắm vững một số phương thức chứng minh bất đẳng thức.2-Một số phương thức và bài bác toán tương quan đến phương trình bậc hai áp dụng công thức nghiệm đã cho học viên học sau.3-Rèn tài năng và pp chứng tỏ bất đẳng thức.B- nội dung Phần 1 : những kiến thức cần để ý 1- Định nghĩa 2- tính chất 3-Một số hằng bất đẳng thức hay cần sử dụng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp cần sử dụng định nghĩa 2- phương pháp dùng chuyển đổi tương đương 3- cách thức dùng bất đẳng thức thân thuộc 4- cách thức sử dụng tính chất bắc ước 5- cách thức dùng đặc điểm tỉ số 6- phương thức làm trội 7- phương pháp dùng bất đẳng thức vào tam giác 8- cách thức đổi trở nên số 9- phương thức dùng tam thức bậc hai 10- cách thức quy nạp 11- phương pháp phản chứng Phần 3 :các bài tập nâng cao PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- sử dụng bất đẳng thức nhằm tìm rất trị 2-Dùng bất đẳng thức nhằm giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyênPhần I : các kiến thức nên lưu ý1-Đinhnghĩa2-tính hóa học + A>B + A>B và B >C + A>B A+C >B + C + A>B cùng C > D A+C > B + D + A>B với C > 0 A.C > B.C + A>B cùng C B > 0 A > B + A > B A > B với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 cùng A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0) + ( lốt = xẩy ra khi A.B B Ta minh chứng A –B > 0 chú ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M lấy một ví dụ 1 " x, y, z minh chứng rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z do (x-y)2 0 với"x ; y vết bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z lốt bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vết bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx lốt bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với đa số x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z vệt bằng xẩy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: minh chứng rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy vết bằng xẩy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại các bước để chứng tỏ AB theo định nghĩa bước 1: Ta xét hiệu H = A - B bước 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F) bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) chứng minh "m,n,p,q ta đều sở hữu m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi cách thức 2 : dùng phép chuyển đổi tương đươngLưu ý: Ta chuyển đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức sẽ được chứng minh là đúng. để ý các hằng đẳng thức sau: lấy ví dụ 1: cho a, b, c, d,e là các số thực minh chứng rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn luôn đúng) Vậy (dấu bằng xẩy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy vết bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta tất cả điều đề xuất chứng minhVí dụ 2: minh chứng rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta tất cả điều phải chứng minh Ví dụ 3: mang đến x.y =1 và x.y minh chứng Giải: vì :xy yêu cầu x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 bắt buộc 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta tất cả điều đề xuất chứng minhVí dụ 4: 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: chứng tỏ rằng :có đúng 1 trong các ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam đánh 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 đề xuất phải xẩy ra trường phù hợp trên tức là có đúng một trong các ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1Phương pháp 3: sử dụng bất đẳng thức thân quen thuộcA/ một vài bất đẳng thức hay dùng 1) những bất đẳng thức phụ: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: ví như Nếu lốt bằng xẩy ra khib/ những ví dụ lấy ví dụ như 1 đến a, b ,c là các số không âm chứng tỏ rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc vệt “=” xẩy ra khi a = b = cví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 với a+b+c=1 CMR: (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 với x+y+z=1 CMR:x+2y+z 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 4)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y ví dụ như 3: cho a>b>c>0 và chứng tỏ rằng Giải: bởi vì a,b,c đối xứng ,giả sử abc áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta bao gồm == Vậy vệt bằng xẩy ra khi a=b=c= ví dụ 4: cho a,b,c,d>0 với abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải:Ta bao gồm Do abcd =1 đề nghị cd = (dùng ) Ta gồm (1) phương diện khác: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = Vậy lấy ví dụ như 5: đến 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd mà lại ví dụ 6: minh chứng rằng Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski biện pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 3 Điều phải minh chứng Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPh ương pháp 4: Sử dụng đặc điểm bắc cầuLưu ý: A>B cùng b>c thì A>c 00 thỏa mãn a> c+d , b>c+d chứng tỏ rằng ab >ad+bc Giải: Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều bắt buộc chứng minh)ví dụ 2: đến a,b,c>0 thỏa mãn chứng minh Giải: Ta tất cả :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 chia hai vế mang lại abc > 0 ta bao gồm ví dụ 3 mang lại 0 1-a-b-c-d Giải: Ta tất cả (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab bởi a>0 , b>0 yêu cầu ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) bởi c 0 ta gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d(Điều đề nghị chứng minh)ví dụ 41- cho 0 0 1+ > + b mà 0 , > từ (1) và (2) 1+> + Vậy + 0 thì từ ` lấy ví dụ như 1 : cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thành phần thức ta có (1) còn mặt khác : (2) tự (1) với (2) ta có 1 chứng minh rằng Giải: Ta gồm với k = 1,2,3,,n-1 vị đó: lấy ví dụ 2 : minh chứng rằng: với n là số nguyên Giải :Ta có Khi cho k chạy từ là một đến n ta có 1 > 2 cùng từng vế những bất đẳng thức bên trên ta bao gồm Ví dụ 3 : chứng tỏ rằng Giải: Ta tất cả Cho k chạy từ 2 mang lại n ta gồm Vậy Ph ương pháp 7: dùng bất đẳng thức trong tam giácLưu ý: nếu a;b;clà số đo tía cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 với |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác yêu cầu ta gồm ị cùng từng vế các bất đẳng thức bên trên ta bao gồm a2+b2+c2 ờb-c ù ị > 0 b > ờa-c ùị > 0 c > ờa-b ùị Nhân vế những bất đẳng thức ta đượcVí dụ2: (404 – 1001) 1) đến a,b,c là chiều dài tía cạnh của tam giác chứng tỏ rằng 2) mang lại a,b,c là chiều dài tía cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 chứng tỏ rằng Ph ương pháp 8: đổi phát triển thành sốVí dụ1: mang lại a,b,c > 0 minh chứng rằng (1)Giải :Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta gồm a= ; b = ; c =ta gồm (1) ( Bất đẳng thức ở đầu cuối đúng vì ( ; cần ta gồm điều phải chứng minh Ví dụ2: cho a,b,c > 0 cùng a+b+c 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 2)Tổng quát mắng m, n, p, q, a, b >0 CMR Ph ương pháp 9: cần sử dụng tam thức bậc haiLưu ý : mang lại tam thức bậc hai ví như thì nếu như thì trường hợp thì cùng với hoặc () với Ví dụ1: chứng minh rằng (1) Giải: Ta gồm (1) Vậy với mọi x, yVí dụ2: chứng minh rằngGiải: Bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương cùng với Ta có Vì a = vậy (đpcm) Ph ương pháp 10: sử dụng quy nạp toán họcKiến thức: Để minh chứng bất đẳng thức đúng cùng với ta thực hiện quá trình sau : 1 – chất vấn bất đẳng thức đúng cùng với 2 - đưa sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần minh chứng được hotline là giả thiết quy hấp thụ ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi chuyển đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – tóm lại BĐT đúng với mọi Ví dụ1: chứng tỏ rằng (1) Giải : cùng với n =2 ta tất cả (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 thật vậy lúc n =k+1 thì (1) Theo mang thiết quy nạp k2+2k 0 minh chứng rằng (1)GiảiTa thấy BĐT (1) đúng cùng với n=1Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1Thật vậy cùng với n = k+1 ta tất cả (1) (2) Vế trái (2) (3) Ta chứng minh (3) (+) đưa sử a b cùng giả thiết cho a -b a (+) trả sử a 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng tỏ rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải : trả sử a 0 thì tự abc > 0 a 0 cho nên a 0 cùng a 0 a(b+c) > -bc > 0 vị a 0 b + c 0 tương tự ta bao gồm b > 0 , c > 0 ví dụ 2: đến 4 số a , b , c ,d vừa lòng điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có tối thiểu một trong số bất đẳng thức sau là sai: , Giải : mang sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng lúc đó cộng các vế ta được (1) Theo mang thiết ta tất cả 4(b+d) 2ac (2) tự (1) và (2) tốt (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức với có ít nhất một các bất đẳng thức saiVí dụ 3: mang lại x,y,z > 0 với xyz = 1. Chứng tỏ rằng giả dụ x+y+z > thì có 1 trong ba số này to hơn 1 Giải : Ta gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () do xyz = 1 theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong cha số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số trong những dương thật vậy nếu cả bố số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái mang thiết) Còn nếu 2 trong 3 số kia dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiảiTa tất cả hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 yêu cầu a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều cần chứng minh2) minh chứng rằng a) b) với đa số số thực a , b, c ta bao gồm c) Giải : a) Xét hiệu H = = H0 ta bao gồm điều phải chứng tỏ b) Vế trái có thể viết H = H > 0 ta có điều phải chứng tỏ c) vế trái hoàn toàn có thể viết H = H 0 ta tất cả điều nên chứng minhIi / Dùng chuyển đổi tương đương 1) mang đến x > y với xy =1 .Chứng minh rằng Giải : Ta gồm (vì xy = 1) cho nên vì vậy BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT cuối đúng bắt buộc ta tất cả điều đề xuất chứng minh2) mang lại xy 1 .Chứng minh rằng Giải : Ta có BĐT cuối này đúng vị xy > 1 .Vậy ta gồm điều cần chứng minhIii / dùng bất đẳng thức phụ 1) cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 chứng tỏ rằng Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta bao gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) đến a,b,c là những số dương minh chứng rằng (1) Giải : (1) vận dụng BĐT phụ cùng với x,y > 0 Ta gồm BĐT sau cuối luôn đúng Vậy (đpcm)Iv / dùng phương pháp bắc ước 1) đến 0 0 .Chứng minh rằng : Giải : vị a ,b ,c ,d > 0 phải ta bao gồm (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức bên trên ta bao gồm : (đpcm) 2) cho a ,b,c là số đo cha cạnh tam giác minh chứng rằng Giải : vày a ,b ,c là số đo tía cạnh của tam giác yêu cầu ta gồm a,b,c > 0 cùng a 0 cùng x+y+z =1 Giải : vày x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta bao gồm x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến x+y ; y+z ; x+z ta bao gồm Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S Vậy S có giá trị lớn số 1 là lúc x=y=z= lấy ví dụ 3 : đến xy+yz+zx = 1 Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của Giải : vận dụng BĐT Bunhiacốpski mang lại 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski đến () với (1,1,1) Ta tất cả Từ (1) cùng (2) Vậy có mức giá trị bé dại nhất là lúc x=y=z= lấy ví dụ như 4 : vào tam giác vuông tất cả cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích s lớn độc nhất Giải : hotline cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta có S = bởi a ko đổi mà x+y = 2a Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn số 1 Vậy trong các tam giác bao gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn độc nhất vô nhị Ii/ dùng b.đ.t để giải phương trình và hệ phương trình ví dụ 1 : Giải phương trình sau Giải : Ta tất cả Vậy vết ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình tất cả nghiệm độc nhất x = -1 lấy ví dụ như 2 : Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta có : dấu (=) xảy ra khi x = 1 mặt khác dấu (=) xảy ra khi y = - Vậy khi x =1 với y =- Vậy nghiệm của phương trình là ví dụ như 3 : Giải hệ phương trình sau: Giải : áp dụng BĐT Côsi ta gồm Vì x+y+z = 1) buộc phải Dấu (=) xẩy ra khi x = y = z = Vậy bao gồm nghiệm x = y = z = ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau trường đoản cú phương trình (1) xuất xắc Từ phương trình (2) trường hợp x = thì y = 2 nếu như x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình tất cả nghiệm cùng Iii/ cần sử dụng B.Đ.t nhằm giải phương trình nghiệm nguyên 1) Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn Giải : vì chưng x,y,z là các số nguyên yêu cầu (*) Mà những số x,y,z yêu cầu tìm là ví dụ như 2: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình Giải : không mất tính tổng quát ta mang sử Ta tất cả Mà z nguyên dương vậy z = 1Thay z = 1 vào phương trình ta được Theo giả sử xy nên 1 = mà y nguyên dương yêu cầu y = 1 hoặc y = 2 với y = 1 không thích hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình Hoán vị các số bên trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) lấy ví dụ như 3 : Tìm những cặp số nguyên đống ý phương trình (*) Giải : (*) cùng với x 0 , y > 0 Ta gồm Đặt (k nguyên dương vị x nguyên dương ) Ta gồm Nhưng cơ mà giữa k với k+1 là nhì số nguyên dương thường xuyên không tồn tại một số trong những nguyên dương làm sao cả Nên không tồn tại cặp số nguyên dương nào chấp thuận phương trình . Vậy phương trình có nghiệm độc nhất vô nhị là :